Page personnelle de Gaspard Jankowiak

Postdoc l´Université de Vienne
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Notes FEniCS (interface Python)

FEniCS est un ensemble de bibliothèques permettant la résolution d’EDP avec la méthode des éléments finis. Il permet la description des problèmes sous forme variationnelle à haut niveau. Je rassemble ici quelques notes et conseils utiles pour l’interface Python, valable au moins pour la version 1.4.

Si vous utilisez Python 2.x, je recommande de commencer tous vos fichiers de calcul par from __future__ import division, qui nous débarrasse de la division entière. Celle-ci est toujours accessible via l’opérateur //. L’interface Python de FEniCS est rassemblée dans le module dolfin, qu’il faut donc importer pour pouvoir en profiter.

Dans la suite, mesh correspondra au maillage, et dans les expressions variationnelles, u à la fonction inconnue et v à la fonction test, et sont des fonctions scalaires, sauf indication contraire. M est la matrice de rigidité et b le membre de droite du système linéaire associé à la formulation variationnelle, construits avec les fonctions assemble ou assemble_system.

  • Par défaut, la variable d’espace n’est pas accessible directement pour l’écriture des formes variationnelles, mais on peut la définir avec SpatialCoordinate:
x = SpatialCoordinate(mesh)
form = inner(grad(u), grad(v))*dx + (x[0]**2 + x[1]**2)*u*v*dx
  • De la même façon, le vecteur normal au bord d’un maillage s’obtient avec la fonction FacetNormal, on peut dont définir des termes de bord, par exemple $\int \frac{\partial u}{\partial \nu}\, v\; \mathrm d x$, de la manière suivante :
n = FacetNormal(mesh)
a = ... + inner(grad(u), n)*v*dx
  • Il est possible de définir des régions du maillage (des SubDomain) de manière plus efficace (à voir ce que ça veut dire exactement) avec la fonction CompiledSubDomain, qui prend une chaîne de charactère. Celle-ci suit la syntaxe C++, et expose les variables on_boundary et x. Les autres doivent être passées en argument :
left_boundary = CompiledSubDomain("on_boundary && near(x[0], x_left)",
                                  x_left=0.5)
  • Pour visualiser forme de la matrice de rigidité, on peut utiliser la bibliothèque matplotlib, et sa fonction spy. Puisque le système est a priori de grande dimension, on ne peut pas simplement faire appel à M.vector().array(), il faut créer une matrice scipy creuse.
import scipy.sparse as sp
import matplotlib.pyplot as plt

M = assemble(...)

rows, cols, values = M.data()
sp_M = sp.csr_matrix(values, cols, rows)

plt.spy(sp_M)
plt.show() # ne pas oublier show pour afficher le graphe
  • FEniCS est en général distribué avec un outil permettant la conversion d’un certain nombre de format de stockage de maillage vers le format XML qu’il utilise. Par exemple, pour utiliser un maillage généré par MEdit (FreeFem) :
import dolfin_utils.meshconvert.meshconvert as conv
conv.mesh2xml("maillage_freefem.mesh", "maillage_fenics.xml")
mesh = Mesh("maillage_fenics.xml")

Un blog de Terrence Tao plus lisible

Voici un petit bout de CSS pour nettoyer les posts de blogs et les rendre plus agréables à lire. Il est commenté (en anglais) pour pouvoir être adapté à vos besoins. Avec Firefox, il faut utiliser l’extension Stylish pour l’utiliser. Et comme les maths sont affichés via de simples images, ce qui est moyennement esthétique, voilà le bout de Javascript qui va avec. Il injecte MathJax dans la page, après avoir transformé les images en texte utilisable par lui. Pour l’utiliser avec Firefox, il faut avoir installé GreaseMonkey.

Voici un aperçu, avant à gauche, après à droite :

before after


devoluy skier